工程經濟之公式概論
丁冠中、方煒
本文刊載於1991 環控農業機械工程研討會專輯
Ⅰ.錢的價值
錢的價值可概分為二：
(1) 數目
(2) 時間（由於利率和通貨膨脹的影響）
利率：借貸的利息或是投資的回收利率；
通貨膨脹：購買力的變動。
對不同的投資計劃，在支出和收益的計算上須考慮各次交易發生的時間和金額的數目。要比較不同投資計劃的經濟效益，所有涉及的金額都須以同一時間作標準。以下所要討論的即為諸相關公式。
符號：
P：金錢的現值（在時間t＝0時的金錢價值）
Pc：現在的儲備金額以應將來之需。
f：金錢的未來值（時間t>0)
i：年利率
j：年通貨膨脹率
n：年數
m：一年的複利計算次數
k：每年複利次數對每年借貸償還次數的比率
a：均一序列的正常付款額
g：漸增式付款序列的基本額
c：某一項支出的現值
將金錢的價值轉換至另一時間單位的計算方法只涉及利率。
簡單利率（無利上加利，此情況甚少發生）
Ｐ
↑ +---m----+
│ ↑↑ ↑ n
└─┴┴──┴──────────┬─→ 時間，年
0 ↗ 1 2 3 ....... ↓
P(i/m) f
ｆ＝ Ｐ ＋ ｍｎＰ（ｉ／ｍ）＝ Ｐ（１＋ｎｉ） …(1)
簡單複利 （利上加利） m.n次之後
Ｐ
↑ +---m----+
│ n
└─┴────┴─────────┬─→ 時間，年
0 f f.... 1 2 3 ....... ↓
1 2 f
ｆ＝ Ｐ ＋ ｍｎＰ（ｉ／ｍ）＝ Ｐ（１＋ｎｉ） …(1)
第一次複利計算之後：
ｆ１＝ Ｐ（１＋ｉ／ｍ）
第二次複利計算之後：
ｆ２＝ Ｐ（１＋ｉ／ｍ）（１＋ｉ／ｍ） ＝ Ｐ（１＋ｉ／ｍ）２
第ｍｎ次複利計算之後：
ｆｍｎ＝ Ｐ（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ
故複利計算因子（ＣＡＦ）為：
ｆ／Ｐ ＝（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ ..................(2a)
或， 現值計算因子(ＰＷＦ)
Ｐ／ｆ ＝ １／（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ …… … (2b)
(3) 均一序列
(i) 在各個時間區間終止時，償還的金額數為"a"
+---m----+ a
a↑↑ ↑ ↑
┌─┴┴──┴──────────┼─→ 時間，年
│0 1 2 3 ....... n↓
↓ f
若複利計算的頻率和金額償還頻率相同(k＝i)
則序列複利計算因子(SCAF)為：
ｆ／ａ ＝〔（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ －１〕／（ｉ／ｍ）.........(3a)
或定期償金計算因子(SFF)
ａ／ｆ＝（ｉ／ｍ）／〔（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ －１〕.........(3b)
因此，一序列償金金額"a"的現值，可以序列現值計算因子(SPWF)計算：
Ｐ／ａ ＝〔（１＋ｉ／ｍ）－１〕ｍｎ／〔（ｉ／ｍ）（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ 〕
.........(4a)
或資本回收計算因子(CRF)：
ａ／Ｐ＝〔（ｉ／ｍ）（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ〕／〔（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ－１〕
........(4b)
※若複利計算頻率不同於金額償還頻率，亦即K不等於1則公式3a,3b,4a和4b中 應以 (ie/m)取代(i/m)，以(mn/k)取代(mn)
其中，
（ｉe／ｍ）＝（１＋ｉ／ｍ）k－１ ................(5)
(ii) 當序列隨時間平移時，（償還金額"a"發生在各時間區間之起點）
+-- m --+
a↑↑↑..... ↑ ...↑↑a
└┴┴────────┴──┴┴┬─→ 時間，年
0 1 2 n-1...... n ↓
f
※當ｋ＝１
（ｆ／ａ）＝（１＋ｉ／ｍ）（ｆ／ａ） ............(6)
(4) 一漸增式償金序列的現值（基本金額＝G，第一次償金發生在第2年終，m＝1，k ＝1，在第y年結束時的償金＝(y-1).G）
G 2G (y-1)G (n-1)G
↑ ↑ ↑..... ↑
┌─┴─┴─┴───┴────┴──→ 時間，年
0 ↓ 1 2 3 ... y... n
Ｐ
梯次現值計算因子：(GPWF)
Ｐ／Ｇ＝（１／ｉ）｛〔（１＋ｉ）ｎ－１〕／〔ｉ（１＋ｉ）〕ｎ
－ｎ／（１＋ｉ）ｎ｝ ...........................(7)
(5) 連續複利（m趨於無限大）
(i) 總結連續複利計算因子：
（ｆ／Ｐ）..... ＝ ｅｉｎ ..........................(8)
連續值
(ii)均一序列複利計算因子（各年終的償金）
（ｆ／ａ） ＝（ｅｉｎ －１）ｉ／（ｅｉ －１）.............(9)
連續值
(iii) 連續複利計算，每1元相當於
(f/a)fbw＝……
Ⅱ.
將來支出的現值
現在所須儲備的金額以應將來之支出
(1) 只考慮通貨膨脹
c↑ ↑↑..... ↑
┌─┴─┴┴──────────┴──→ 時間，年
0 ↓ 1 2 ...... n
Pc
Ｐc ＝Ｃ｛〔（１＋ｊ／ｍ）ｍｎ －１〕／（ｊ／ｍ）｝......(11)
本金Pc不賺利息。
(2) 考慮利率及通貨膨脹
(i) 當i＝j
Ｐc ＝Ｃ〔ｍｎ／（１＋ｉ／ｍ）〕......................(12)
(ii)當i≠j
Ｐc ＝Ｃ｛〔１/（ｊ／ｍ－ｉ／ｍ）〕〔（１＋ｊ／ｍ）ｍｎ／
（１＋ｉ／ｍ）ｍｎ －１〕｝ ......................(13)
本金Pc以年利率i賺取利息，利息以複利計算，複利計算頻率同於償金頻率。
Ⅲ. 經濟分析
決定〝累計現值(cpw)〞須先對此投資做投資回收利率(ROI)的預測。
程序：(1) 決定各種可能的投資計劃
(2) 估計各計劃的成本及利益（以年為單位），包括金額數，發生時
間及方向。
(3) 計算各年終的盈餘（盈餘＝利益－成本）
(4) 選擇一預測投資回收利率
(5) 計算各計劃的累計現值基於計劃內的設備使用壽命。
(6) 計算實際投資回收利率當累計現值為0。
相關的觀念：
(1) 折舊–依美國財務局的規定：
對一投資中可免的所得稅金額
實例：
(i) 直線計算法：
年折舊＝（最初成本－殘餘價值）／（須繳稅之年數）...(14)
(ii) 累計年數法：
第ｎ年折舊＝｛2（繳稅年數－ｎ＋１）／
〔（繳稅年數）（繳稅年數＋１）〕｝x（最初成本－殘餘價值）...(15)
(2) 年所得稅（基於淨收益）＝以淨收益之百分比。
Ⅳ. 投資回收利率(ROI)
n ＣＰＷ＝－（最初成本）＋Σ （第j年的淨回收）／(１＋ROI)j〕 ................(16)
j=1
- 當ｎ＝計劃的壽命時，CPW＝總共的累計現值基於所使用的預測ROI值。
- 當CPW＝0，且ｎ小於計劃的壽命，則ｎ為達損益平衡之年數基於所仗用的預測ROI值。
- 當CPW＝0，且ｎ等於計劃的壽命，則ROI為此計劃的總結投資回收利率。